Question

如图,点P是等腰直角三角形ABC底边上一点,过点P作BA,AC的垂线,垂足分别为E,F,设D为BC中点,

(1)求证:DE垂直DF.
(2)若点P在BC的延长线上时,DE垂直DF吗?请给予证明.

（特别是第二问要详细否则不给分）

Answer 1

（1）角A=90°，A在上，B在左
因为：△ABC是等腰直角三角形
角A=90°，
PE垂直AB，PF垂直AC
所以：角PEA=角PFA=90°
故：四边形AEPF是矩形
AE=PF
在△PCF中
因为：角PFC=90°，角C=45°
所以：角FPC=45°
PF=CF=AE
同理：AD=CD
在△AED和△CFD中
因为：AD=CD，AE=CF，角EAD=角C=45°
所以：△AED和△CFD全等
角ADE=角CDF
因为：角CDF+角ADF=90°
所以：角ADE+角ADF=90°
DE垂直DF
（2）延长BA和AC，（向右）
过P分别作BA、AC延长线的垂线，垂足分别为E,F

1、PF=CF
2、角FCD=180°-45°=角EAD
AD=CD
△EAD和△FCD全等
角ADE+角EDC=90°
角FDC+角EDC=90°
DE垂直DF

Answer 2

（1）角A=90°，A在上，B在左
因为：△ABC是等腰直角三角形
角A=90°，
PE垂直AB，PF垂直AC
所以：角PEA=角PFA=90°
故：四边形AEPF是矩形
AE=PF
在△PCF中
因为：角PFC=90°，角C=45°
所以：角FPC=45°
PF=CF=AE
同理：AD=CD
在△AED和△CFD中
因为：AD=CD，AE=CF，角EAD=角C=45°
所以：△AED和△CFD全等
角ADE=角CDF
因为：角CDF+角ADF=90°
所以：角ADE+角ADF=90°
DE垂直DF
（2）延长BA和AC，（向右）
过P分别作BA、AC延长线的垂线，垂足分别为E,F

1、PF=CF
2、角FCD=180°-45°=角EAD
AD=CD
△EAD和△FCD全等
角ADE+角EDC=90°
角FDC+角EDC=90°
DE垂直DF