Question

已知数列{An}与{Bn}满足:A1=λ,A(n+1)=2/3An+n-4,Bn=(-1)^n*(An-3n+21),其中x为实数,n为...

已知数列{An}与{Bn}满足:A1=λ,A(n+1)=2/3An+n-4,Bn=(-1)^n*(An-3n+21),其中x为实数,n为正整数
1.对任意数λ，证明数列{an}不是等比数列
2.设0<a<b,是否存在实数λ，使任意正整数n都有a<Sn<b,若存在，求λ的取值，若不存在，说明理由。

Answer 1

1、证明：a1=λ，a2=(2/3)a1+1-4=2λ/3-3，a3=(2/3)a2+2-4=4λ/9-4。
若λ=0，a1=0，显然{an}不是等比数列；
若λ≠0，则a2/a1=2/3-3/λ，a3/a2=(4λ/9-4)/(2λ/3-3)=(4λ-36)/(6λ-27)，当a3/a2=a2/a1时得到2/3-3/λ=(4λ-36)/(6λ-27)，解得243=0，无解！！！所以对任意的λ，{an}都不是等比数列。
综合上述，对任意数λ，数列{an}不是等比数列。

2、假设存在。
因为bn=(-1)^n*(an-3n+21)，所以b(n+1)=(-1)^(n+1)*[a(n+1)-3(n+1)+21]=(-1)^(n+1)*[(2/3)an+n-4-3(n+1)+21]=(-1)^(n+1)*[(2/3)an-2n+14]=(-1)^n*(an-3n+21)*(-2/3)=(-2/3)bn
故{bn}是以b1为首项，-2/3为公比的等比数列。b1=(-1)*(a1-3+21)=-(λ+18)，q=-2/3
Sn=b1+b2+…+bn=b1(1-q^n)(1-q)=-3(λ+18)[1-(-2/3)^n]/5 (n∈N*)
因为满足0<a<Sn<b，且1-(-2/3)^n>0恒成立，所以首先λ+18<0，有λ<-18
对于1-(-2/3)^n来说，
(i)当n为奇数时，值随着n增大逐渐减小，当n→∞时达到极限1；
(ii)当n为偶数时，值随着n增大逐渐增大，当n→∞时达到极限1；
所以当n=1时有最大值，当n=2时有最小值，1-(-2/3)^n的取值范围是[5/9,5/3]。那么Sn的取值范围是：-(λ+18)/3≤Sn≤-(λ+18)
要是上式在0<a<Sn<b恒陈立，只能-(λ+18)/3>a且-(λ+18)<b，得：λ<-18-3a且λ>-18-b
因为0<a<b，所以分以下情况进行讨论：
(1)当0<a<3a<b时，-18-3a>-18-b，此时λ的取值范围是-18-b<λ<-18-3a；
(2)当0<a<b≤3a时，-18-3a≤-18-b，此时λ不存在。