Question

三角形ABC的外角角ACD的平分线CP与内角角ABC的平分线BP交于点P，已知角BPC=40度。

三角形ABC的外角角ACD的平分线CP与内角角ABC的平分线BP交于点P，已知角BPC=40度。（1）若角ABC=角ACB，则角BAC=？（要步骤） （2）求角CAP的度数（要步骤）

Answer 1

第一个问题：
由三角形外角定理，有：∠PCD＝∠PBC＋∠BPC。
∵∠PBC＝∠ABC/2、∠PCD＝∠ACD/2，∴∠ACD/2＝∠ABC/2＋∠BPC，
∴∠ACD＝∠ABC＋2∠BPC。······①
再由三角形外角定理，有：∠ACD＝∠ABC＋∠BAC。······②
比较①、②，得：∠BAC＝2∠BPC＝2×40°＝80°。

第二个问题：（1）中的条件应该是这里的条件。
延长BA至E，使AE＝AB。
∵∠ABC＝∠ACB、∠BAC＝80°，∴∠ABC＝50°，∴∠PBC＝25°。
∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，又AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠BEC＝∠ACE。
由三角形外角定理，有：∠BAC＝∠BEC＋∠ACE＝2∠BEC，∴∠BEC＝∠BAC/2＝40°。
由∠BEC＝40°、∠BPC＝40°，得：B、E、P、C共圆，又AB＝AC＝AE，
∴A是四边形BEDC的外接圆圆心，∴∠CAP＝2∠PBC＝50°。