Question

一道数学题22

在平面直角坐标系中，抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2，0）两点，与y轴交于点B。点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-1/2x上的动点。若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形时，求出满足条件的所有Q点的坐标。（好像其中有两个点是分别是（4，-2）和（-8，4），如果正确，说说求解的方法，最好有过程。其他的点直接写出即可。）

Answer 1

根据AC坐标可求出抛物线的对称轴是x=-1，可得b=1，带入坐标可求出c=-4，那么B点坐标就是（-4,0），因为PQBO为直角梯形，根据下图可知只能是OBQ或者OBP为直角，所以当OBQ为直角时，Q点的纵坐标为-4，带入直线方程可得Q点（8，-4）；当OBP为直角时，P点的纵坐标为-4，带入抛物线可得P（-2，-4），又因为Q点横坐标与P点横坐标相等，所以Q点为（-2,1）

Answer 2

依题意，可得：y = (1/2)(x+4)(x-2) = (1/2)x²+x-4 ，则有：点B的坐标为（0,-4）；
若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形时，需要分情况讨论：

① 当OB是直角梯形的直角腰时，梯形的两底分别在直线 y = 0 和 y = -4 上；
y = 0 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-4,0)、(2,0) ；
y = -4 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-2,-4) ，和 y = (-1/2)x 的交点为 (8,-4) ；
经检验：只有当 P（2,0）、Q（8,-4）时， 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

② 当OB是直角梯形的一条底边，且∠B = 90°时，梯形的直角腰在直线 y = -4 上；
y = -4 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-2,-4) ，和 y = (-1/2)x 的交点为 (8,-4) ；
则直角梯形的另一条底边在直线 x = -2 或 x = 8 上；
x = -2 和 y = (-1/2)x 的交点为 (-2,1) ，
x = 8 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (8,36) ，
经检验：当 P（-2,-4）、Q（-2,1）或 P（8,36）、Q（8,-4）时， 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

③ 当OB是直角梯形的一条底边，且∠O = 90°时，梯形的直角腰在直线 y = 0 上；
y = 0 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-4,0)、(2,0) ；
可得：直角梯形的另一条底边在直线 x = -4 或 x = 2 上；
x = -4 和 y = (-1/2)x 的交点为 (-4,2) ，
x = 2 和 y = (-1/2)x 的交点为 (2,-1) ，
经检验：只有当 P（2,0）、Q（2,-1）时， 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

④ 当OB是直角梯形的一条腰，且OB不是直角腰时，
梯形的两底分别在直线 y = (-1/2)x 和 y = (-1/2)x-4 上；
y = (-1/2)x 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为（(-3+√41)/2,(3-√41)/4）和（(-3-√41)/2,(3+√41)/4），分别作和 y = (-1/2)x-4 垂直的直线，可得垂足为 （略），【P、Q在OB两侧不合】
y = (-1/2)x-4 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 （-3,-5/2），
过点（-3,-5/2）作和 y = (-1/2)x 垂直的直线，可得垂足为 （-7/5,7/10）；
经检验：当 P（-3,-5/2）、Q（-7/5,7/10）时， 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

综上可得：满足条件Q点的坐标有4个，分别为：（8,-4）、（-2,1）、（2,-1）、（-7/5,7/10）。