Question

解析几何题目，请详细解答，谢谢。题目见问题补充。

设F1、F2分别是椭圆x²/25+y²/16=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6,4），则︳PM︳+︳PF1︳的最大值是多少？
怎么没人回答啊。

Answer 1

解：可以利用椭圆的定义，和三角形的性质来解
∵c²=25-16=9
∴ c=3
F1(-3,0),F2(3,0)
|MF2|²=(6-3)²+(4-0)²=25
|MF2|=5
利用椭圆定义
|MF1|+|MF2|=2a=10
∴|PM|+|PF1|=|PM|+10-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=10+5=15
此时P为射线MF2与椭圆的交点
∴ |PA|+|PF1|的最大值15

Answer 2

根据题意，c=√(25-16)=3，所以F1(-3,0)，F2(3,0)
M点(6,4)在椭圆外（椭圆的最远点也就是(5,0)）了
根据椭圆性质|PF1|+|PF2|=2a=2*√25=10
那么|PM|+|PF1|=2a+(|PM|-|PF2|)
如果PMF2三点不共线，那么△PMF2中，|PM|-|PF2|<|MF2|
当PMF2三点共线时，且P在MF2线段上时，|PM|+|PF2|=|MF2|，故肯定有|PM|-|PF2|<|MF2|
当PMF2三点共线时，且P在MF2的延长线上时，有|PM|-|PF2|=|MF2|，这是|PM|-|PF2|的最大值
又|MF2|=√(6-3)²+(4-0)²=5
那么|PM|+|PF1|的最大值为2a+|MF2|=10+5=15