Question

在三棱锥P-ABC中，AB=BC=根号6，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=2。⑴求三棱锥P-ABC的...

在三棱锥P-ABC中，AB=BC=根号6，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=2。⑴求三棱锥P-ABC的体积 ⑵证明PBC为直角三角形
麻烦快点，谢谢！

Answer 1

1）

作BE⊥AC于E

∵AB=BC=√6

∴E 是AC的中点

AE=1/2AC=1/2(AD+CD)=2

∴BE=√(6-4)=√2

三角形ABC的面积S=1/2 AC*BE=2√2

∵平面PAC⊥平面ABC

   PD⊥AC

∴PD⊥平面ABC

三棱锥P-ABC的体积V=1/3S*PD=4√2/3

2）

在直角三角形PCD中，PD=2，CD=3

∴PC=√13

连接BD，

在直角三角形BDE中，ED=3-2=1，BE=√2

∴BD=√3

∵PD⊥平面ABC

∴PD⊥BD

在直角三角形PBD中，PD=2,BD=√3

∴PB=√7

∴在三角形PBC中，BC=√6 ，PC=√13 ，PB=√7

BC²+PB²=6+7=13=PC²

∴三角形PBC是直角三角形，PB和BC是直角边，PC是斜边

Answer 2

由于ABC为等腰三角形，可知底为4，腰长为根号6，所以底边的高为根号2，所以底面积为2*根号2；
故体积为底面积*高/3，为2*根号2*2/2=2倍的根号2。

因为PC=根号下（2^2+3^2）=根号13，DB利用中线长公线可求出为（根号12）/2，又由于PBD为直角三角形，故可求出PB=根号7，所以三角形PBC中三边长分别为根号6，根号7，根号13，故为直角三角形

Answer 3

过B做BE垂直于AC
ABC面积为4x2^(1/2)x(1/2)=2x2^(1/2)
v=2x2^(1/2)x2x(1/3)=(4/3)x2^(1/2)

连接BD BDE为直角三角形 可得BD=根号3
可求PC=根号13
因PDB为直角三角形
PB=根号7
所以PC^2=PB^2+BC^2
所以得证

Answer 4

1. 三角形ABC为等腰三角形，AD=1 ， CD=3 AC=4
AB = BC = 根号6 ，取AC中点E，BE=√2
SABC=1/2*BE*AC=2√2
平面PAC 垂直 平面 ABC ， PD 垂直 AC于点D , PD为三菱锥的高 h=2
VP - ABC=1/3*S*h=4√2/3
2. DE=1 BE=√2 BD=√3
PB=√(PD^2+BD^2)=√7
PC=√(PD^2+DC^2)=√13
BC=√6
PB^2=BC^2+PC^2
PBC为直角三角形