Question

（超难）求算数列极限

已知实数数列An,满足递推公式A(n+1)=sin(An)+1,求lim(x→∞)An.
经测试，这个极限确实存在，且与A1取值无关，请高手们试证。

Answer 1

数列的极限是 x=sinx+1的根，设根为W。 自然W=sinW+1
我们知道了这个事实，再来求证。

|An+1 - W|=|sin(An)+1-sinW-1|=|sin(An)-sinW|
=2|sin((An-W)/2)|*|cos((An+W)/2)|
注意n>=2时， 0<An<2, W/2<(An+W)/2<1+W/2
W是常数，为了清楚起见，写成1<W<2,1/2<(An+W)/2<2,
在这个范围计算cos((An+W)/2)可知|cos((An+W)/2)|<cos0.5=t<1。
另外|sin((An-W)/2)|<=|(An-W)/2|，
于是|An+1 - W|<=t|(An-W)|<=t^2|(An-1 -W)|<=……<=t^n|(A1 -W)|
数列Bn+1=t^n|(A1 -W)|是单调递减收敛于0的
令 Cn+1=0，常数列，也收敛于0
Cn+1<=|An+1 - W|<=Bn+1,夹逼定理可知lim(n→∞)|An+1 - W|=0
即lim(n→∞) An=W

Answer 2

这个极限肯定存在,但是要证明却不容易.
An有界,但是不单调.令A1=1,下面是计算结果.
1.00000000000000
1.84147098480790
1.96359072454183
1.92384305244206
1.93832363904163
1.93321865653551
1.93504075438949
1.93439319553526
1.93462368817282
1.93454169134957
1.93457086707749
1.93456048662593
1.93456417998483
1.93456286590132
1.93456333344886
1.93456316709683
1.93456322628442
1.93456320522564
1.93456321271829
1.93456321005243
1.93456321100094
1.93456321066346
1.93456321078353
1.93456321074081
1.93456321075601
1.93456321075061
1.93456321075253
1.93456321075184
1.93456321075209
1.93456321075200
1.93456321075203
1.93456321075202
1.93456321075203
1.93456321075202
1.93456321075202
1.93456321075202

sin(1)+1=A2=1.84147098480790
显然不是这个数列的极限.
这个函数的极限是超越方程x-1=sin(x)的根,可能么有办法用解析式表达.

Answer 3

拜托!!!!
题目肯定错了...
浪费时间啊...
你想:令A1=0,那么不管怎样结果都是1...
难道极限是1???
不是...因为:
令A1=1时,下面是计算结果.
1.00000000000000
1.84147098480790
1.96359072454183
1.92384305244206
1.93832363904163
1.93321865653551
1.93504075438949
1.93439319553526
1.93462368817282
1.93454169134957
1.93457086707749
1.93456048662593
1.93456417998483
1.93456286590132
1.93456333344886
1.93456316709683
1.93456322628442
1.93456320522564
1.93456321271829
1.93456321005243
1.93456321100094
1.93456321066346
1.93456321078353
1.93456321074081
1.93456321075601
1.93456321075061
1.93456321075253
1.93456321075184
1.93456321075209
1.93456321075200
1.93456321075203
1.93456321075202
1.93456321075203
1.93456321075202
1.93456321075202
1.93456321075202

sin(1)+1=A2=1.84147098480790
显然不是这个数列的极限.
这个函数的极限是超越方程x-1=sin(x)的根,可能么有办法用解析式表达.
可以了吗?
这就说明就算存在极限也与A1有关...

Answer 4

因为：An=sin(An-1)+1属于[0,2]
在[-1,2]上sinx>x，所以sin(An-1)>An-1
所以An>An-1+1>An-1
所以An是增函数，单调有界，极限一定存在
由An=sinAn+1
即 x=sinx+1
解出x，即为极限。

Answer 5

晕 你先把题目弄正确再发啊 那个X是哪里来的?