Question

已知连续函数 f(x)满足f(x)=∫[3x,0] f( t/3)dt+e^2x，求f(x)

Answer 1

根据莱布尼兹积分法则（含参积分求导公式）知，
d/dx ∫{0,3x} f(t/3)dt = f(3x/3) d(3x)/dx - f(0/3) d0 /dx + ∫{0,3x} df(t/3)/dx dt = 3f(x)。
故对原等式两边同时对x求导可得
3f(x) + 2e^(2x) = f'(x)。
令y = f(x)，有
y' - 3y = 2e^(2x)。
这是一个一阶线性非齐次常微分方程，可用公式求解，其通解为
y = e^(- ∫ (-3) dx) [ ∫ [2e^(2x) e^(∫(-3)dx)] dx + C]
= e^(3x) [ ∫ [2e^(2x) e^(-3x)] dx + C]
= e^(3x) [ ∫ 2e^(-x) dx + C]
= e^(3x) [ - 2e^(-x) dx + C]
= -2e^(2x)+ Ce^(3x) ，
其中C为任意常数。