Question

在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60度，∠D=150度，已知四边形ABCD周长为32 求四边形ABCD 的面积

Answer 1

如图所示

解：连接BD，∵AB=AD=8，∠A=60°

∴三角形ABD为等边三角形，AB=AD=BD=8

∴∠ADB=60°，∠CDB=∠ADC-∠ADB=150°-60°=90°

∴三角形BCD为直角三角形

作等边三角形ABD的高，DE⊥AB且平分AB（等腰三角形的三线合一）。

∴AE=BE=1/2AB=4

在RT△ADE中，DE=√(AD²-AE²)=√(8²-4²)=4√3

S△ABD=1/2*AB*DE=1/2*8*4√3=16√3

∵四边形ABCD的周长为32，设CD为X

∴BC=(32-AD-AB-CD)=(32-8-8-X)=16-X 

根据勾股定理

BD²=BC²-CD²

8²=(16-X)²-X²

解得：X=6

∴CD=6，BC=16-X=10

∴S△BCD=1/2*BD*CD=1/2*8*6=24

故四边形的面积=S△ABD+S△BCD=16√3 +24≈52

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Answer 2

如图所示，AE是BD边上的高

三角形BCD为直角三角形，8^2+b^2=a^2

四边形ABCD周长为32 =a+b+8*2

解得a=10

      b=6

四边形ABCD 的面积=三角形ABD的面积+三角形BDC的面积

                  =(1/2)*8*8（根号3）/2 +(1/2)*8*6

                                 =16（根号3）+24