Question

老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：

老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：
甲：这是一个三次三项式；
乙：三次项系数为1，常数项为1；
丙：这个多项式的各项有公因式；
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法。
已知这四个同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式，并分解因式。

Answer 1

这样的多项式是不存在的。
首先，乙说常数项为1，丙说各项有公因式，这就矛盾，不然公因式只能为1，可是公因式为1的其实就是没有公因式；
其次，丙说各项有公因式，显然要用到提取公因式，可是丁说分解时要用到公式法，这又是一个矛盾。

Answer 2

1. 老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：

2. 甲：这是一个三次三项式；

3. 乙：三次项系数为1；

4. 丙：这个多项式的各项有公因式；

5. 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；

6. 若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式,并进行因式分解。

• 考点：提公因式法与公式法的综合运用．

• 专题：开放型．

• 分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．

• 解答：解：由题意知，可以理解为：

　　甲：这是一个关于x三次三项式；

　　乙：三次项系数为1，即三次项为x3；

　　丙：这个多项式的各项有公因式x；

　　丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法．

　　故多项式可以为x（x-1)^2=x（x^2-2x+1）=x^2-2x^2+x．

　　点评：本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式．答案不唯一．

Answer 3

解：由题意知，可以理解为：
甲：这是一个关于x三次三项式；
乙：三次项系数为1，即三次项为x3；
丙：这个多项式的各项有公因式x；
丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法．
故多项式可以为x（x-1）2=（x2-2x+1）=x3-2x2+x．

Answer 4

X3+2X2+2X+1
=X(X2+2X+1)+(X+1)
=X(X+1)2+(X+1)
=(X+1)(X2+X+1)