Question

已知等比数列{an}的首项为a,公比q不等于1，Sn是它的前n项和，a1，2a7，3a4

成等差数列，证明：12S3,S6,S12-S6成等比数列

Answer 1

a7=a1q^6; a4=a1q^3
又因a1，2a7，3a4成筀等差数列，所以有：
4a7=a1+3a4 可得：
4a1q^6=a1+3a1q^3
4q^6-3q^3-1=0
(4q^3+1)(q^3-1)=0
可得：q^3=-1/4 或 q^3=1 (因q不为1所以舍去此根)
所以可得：q^3=-1/4
S3=a1(1-q^3)/(1-q) 所以有：12S3=12a1(1-q^3)/(1-q)=15a1/(1-q)
S6=a1(1-q^6)/(1-q) 所以有：S6=15a1/16(1-q)
S12=a1(1-q^12)/(1-q) 所以有：s12=255a1/256(1-q)
可得：S12-S6=255a1/256(1-q)-15a1/16(1-q)=15a1/256(1-q)
因此可得：
12S3/S6=15a1/(1-q):15a1/16(1-q)=16
S6/(S12-S6)=15a1/16(1-q):15a1/256(1-q)=16 所以可得：
12S3,S6,S12-S6成等比数列