Question

设正值函数f(x)在[0,1]上连续,试证:e^(∫(0→1)lnf(x)dx)<=∫(0→1)f(x)dx

Answer 1

注意到lnx是凹函数，因此由杰森不等式知对任意的正数yi，和正数ai，其中求和（i=1到n）ai=1，有
ln【求和（i=1到n）(aiyi)】>=求和（i=1到n）ai*ln(yi)。
对【0,1】进行分划0=x0<x1<,,,,<xn=1，dxi=xi--x(i--1)。在不等式中令
ai=dxi，yi=f(xi)，得ln(求和（i=1到n）f(xi)*dxi)>=求和（i=1到n）dxi*ln(f(xi))。
取极限即得要证不等式。