Question

高等函数求解

隧道的截面是矩形加上半圆(矩形的上底边与半圆的直径重合),其周长是15米,问矩形的底为多少时截面面积最大 ？
数学考试应用题

Answer 1

矩形底设为x，半圆半径为x/2，矩形宽（15-πx/2-x)/2
截面积S=（15-πx/2-x)x/2+π*（x/2)^2/2=-(4x^2+πx^2-60x)/8
令导数为0
S'=-(8x+2πx-60)/8=0
x=60/(8+2π）=4.2

Answer 2

设底边为x米
则半圆周长为 15π/2米
矩形另一边长为 (15-15π/2 - x)/2 米
所以总面积为 半圆面积+矩形面积 = (15-15π/2 - x)/2 * x + π*x^2 /8
= (π/8 - 1/2) x^2 + (15/2 - 15π/4)x
对上式求导，为 (π/4 -1 )x + (15/2 - 15π/4) 当它等于0 时，截面面积最大。
此时x = (15/2 - 15π/4) / (π/4 -1 )
= (15π - 30) / (4-π)

Answer 3

30/((π+4)，假设圆直径为d，矩形的一边就是d，根据周长的关系可以把矩形另一边也用d表示出来，然后用d把面积y表示出来，面积y是关于d的函数，对该函数求导，并且导数为零，求得d。