Question

若函数f"(x)是连续函数,f(2)=3,f'(2)=0,∫(0,2)f(x)dx=2,求∫(0,1)x^2f"(2x)dx的值

Answer 1

∫(0--->1) x²f"(2x)dx
=1/2∫(0--->1) x²f"(2x)d(2x)
=1/2∫(0--->1) x²d(f '(2x))
=(1/2)x²f '(2x)-1/2∫(0--->1) 2xf '(2x)dx
=(1/2)x²f '(2x)-1/2∫(0--->1) xf '(2x)d(2x)
=(1/2)x²f '(2x)-1/2∫(0--->1) xd(f(2x))
=(1/2)x²f '(2x)-(1/2)xf(2x)+1/2∫(0--->1) f(2x)dx
令2x=u，则dx=(1/2)du，u：0--->2
=(1/2)x²f '(2x)-(1/2)xf(2x)+1/4∫(0--->2) f(u)du 将积分限代入(0--->1)
=(1/2)f '(2)-(1/2)f(2)+(1/4)*2
=0-3/2+1/2
=-1