Question

设0＜a,b,c＜1，证明：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能都大于1/4

Answer 1

反证法。
若不然，则有：
(1-a)b＞1/4,
(1-b)c＞1/4.
(1-c)a＞1/4
上面三个式子的两边开平方，可得：
2√[(1-a)b]＞1
2√[(1-b)c]＞1
2√[(1-c)a]＞1
结合基本不等式可得：
(1-a)+b≥2√[(1-a)b]＞1
(1-b)+c≥2√[(1-b)c]＞1
(1-c)+a≥2√[(1-c)a]＞1
上面三式相加，可得：
3＞3.
矛盾，
∴原命题正确。

Answer 2

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1/64 (1)
又(1-a)a≤[(1-a+a)/2]=1/4
同理(1-b)b≤1/4
(1-c)c≤1/4

(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤1/64 （2）
(1)(2) 矛盾
假设不成立
命题成立
所以（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能都大于1/4