Question

一道连续型随机变量问题：设二维随机变量(X,Y)的密度函数

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f（x,y）=Ae^-(2x+3y)，x>0,y>0，f（x,y）=0，其他。（1）确定常数A（2）计算概率P（X小于等于1，Y小于等于3）

Answer 1

1、由密度函数的性质∫[0--->+∞]∫[0--->+∞] Ae^(-2x-3y)dxdy=1
即： A∫[0--->+∞]e^(-2x)dx∫[0--->+∞] e^(-3y)dy=1
得：A[-(1/2)e^(-2x)]*[-(1/3)e^(-3y)]=1 其中x，y均是[0--->+∞]
解得：A(1/2)(1/3)=1，得：A=6
2、P(X≤1，Y≤3)=6∫[0--->1]e^(-2x)dx∫[0--->3] e^(-3y)dy
=6(-1/2)e^(-2x)(-1/3)e^(-3y) x：0--->1，y：0--->3
=(1-e^(-2))(1-e^(-9))
约等于0.865

Answer 2

1、由密度函数的性质∫[0--->+∞]∫[0--->+∞] Ae^(-2x-3y)dxdy=1
即： A∫[0--->+∞]e^(-2x)dx∫[0--->+∞] e^(-3y)dy=1
得：A[-(1/2)e^(-2x)]*[-(1/3)e^(-3y)]=1 其中x，y均是[0--->+∞]
解得：A(1/2)(1/3)=1，得：A=6
2、P(X≤1，Y≤3)=6∫[0--->1]e^(-2x)dx∫[0--->3] e^(-3y)dy
=6(-1/2)e^(-2x)(-1/3)e^(-3y) x：0--->1，y：0--->3
=(1-e^(-2))(1-e^(-9))
约等于0.865