Question

如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P，且AC=PC，∠BOC=2∠BCP。

（1）求证：PC是圆O的切线；
（2）求∠P的度数；
（3）设M是弧AMB的中点，若圆O的半径为2，求线段BM、CM及劣弧BC所围成的阴影部分的面积。（结果用pai表示）

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．（3分）
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=12AB．（6分）
解：连接MA，MB，
∵点M是AB^的中点，
∴AM^=BM^，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴BMMC=MNBM．
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，AM^=BM^，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=22．
∴MN•MC=BM2=8．（10分）

Answer 2

解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）连接MA，MB，
∵点M是 AB 的中点，
∴ AM = BM ，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴BM MC =MN BM ，
∴△MBN∽△MCB，
又∵AB是⊙O的直径， AM = BM ，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4 2 ．
∴MN•MC=BM2=32．解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接MA，MB，
∵点M是 AB 的中点，
∴ AM = BM ，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴BM MC =MN BM ，
∴△MBN∽△MCB，
又∵AB是⊙O的直径， AM = BM ，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4 2 ．
∴MN•MC=BM2=32．