Question

利用级数收敛的必要条件证明 lim n-> 无限 n^n/(n!)^2=0

麻烦你们了

Answer 1

lim n-> 无限 n^n/(n!)^2
=lim n-> 无限 Π(i=1→n) [n/(i²)]
=lim n-> 无限 e^ ln [Π(i=1→n) n/(i²) ]
=lim n-> 无限 e^Σ(i=1→n) ln 1/[n·(i/n)²]
=lim n-> 无限 e^Σ(i=1→n) -n·(1/n)·[ln n + ln(i/n)²]
=lim n-> 无限 e^{-n·(ln n) - Σ(i=1→n) n·ln(i/n)²·(1/n) }
=lim n-> 无限 e^{-n·(ln n) - n·∫<x从0到1> ln x² dx }
=lim n-> 无限 e^{-n·(ln n) - n·[x·ln x² |<x从0到1> -∫<x从0到1> x d ln x² ] }
=lim n-> 无限 e^{-n·(ln n) - n·[0 - ∫<x从0到1> x·(2x)/x² dx ] }
=lim n-> 无限 e^{-n·(ln n) - n·[ -2 ∫<x从0到1> dx ] }
=lim n-> 无限 e^{-n·[(ln n)-2] }
当lim n-> 无限时，(ln n)-2 → 无限
则 -n·[(ln n)-2] → -∞
因此，原极限=lim n-> 无限 e^{-n·[(ln n)-2] } =0