Question

在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，

试判断四边形PQMN为怎样的四边形，得出结论

Answer 1

解：四边形PQMN是菱形

证明：连接AC、BD、NQ、MP

∵△DAE和△CEM都是等边三角形

∴  AE=DE CE=EB ∠CEB=∠DEA=60°

∴∠DEB=∠AEC=120°

在△AEC和△DEB中

  AE=DE

  ∠AEC=∠DEB

  EC=EB

∴△ACE≌△DBE

∴DB=AC

∵N、M是DA、DC的中点

∴NM∥AC  MN=1/2AC

同理

PQ∥AC  PQ=1/2AC

NP∥DB  NP=1/2DB

MQ∥DB  MQ=1/2DB

∴MN=MQ=QP=NP

∴四边形PQMN是菱形

Answer 2

连结AC、BD．

∵ PQ为△ABC的中位线，

∴ PQ =1/2AC．

同理 MN=1/2AC．

∴ MN=PQ，MN//PQ

∴ 四边形PQMN为平行四边形．

在△AEC和△DEB中，

AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，

即 ∠AEC＝∠DEB．

∴ △AEC≌△DEB．

∴ AC＝BD．

∴ PQ＝1/2AC＝1/2BD＝PN．

∴ 四边形PQMN为菱形．

Answer 3

（若AE=EB，那么ABCD是等腰梯形；此图形是一个小等边三角形和一个大等边三角形，并且连接顶点而成，底边在同一条直线）首先，是平行四边形，连接AC，BD。∵AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N。∴MQ是BD的中位线，NE是BD的中位线。∴MQ=NE且平行 同理MN=QE且平行∴PQMN是平行四边形。若AE=EB，∴ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴MQ=NE=MN=QE∴PQMN是菱形

Answer 4

是菱形
证明：连结AC，BD
易知PN平行且等于BD的一半，QM平行且等于BD的一半
所以PN平行且等于QM，四边形PQMN是平行四边形
又在⊿EDB与⊿AEC中
ED=AE，EB=EC，角BED=角AEC=120
所以⊿EDB与⊿AEC全等
AC=BD
而PQ=1/2*AC，PN=1/2*BD
所以PQ=PN
故PQMN为菱形

Answer 5

连结AC、BD．

∵ PQ为△ABC的中位线，

∴ PQ =1/2AC．

同理 MN=1/2AC．

∴ MN=PQ，MN//PQ

∴ 四边形PQMN为平行四边形．

在△AEC和△DEB中，

AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB ，

即 ∠AEC＝∠DEB．

∴ △AEC≌△DEB．

∴ AC＝BD．

∴ PQ＝1/2AC＝1/2BD＝PN．

∴ 四边形PQMN为菱形

Answer 6

连接AC,BD
所以角DEB=角AEC=120度 EB=EC ED=EA
在三角形AEC与三角形DEB中
EB=EC ED=EA 角DEB=角AEC=120度
所以三角形AEC全等三角形DEB
所以AC=DB
因为M,N为AD,DC中点
所以MN=1\2AC
同理得MQ=1\2BD NQ=1\2BD NP=1\2BD PQ=1\2AC(中位线）
所以MN=MQ=QP=NP
所以四边形MNPQ为菱形