Question

求数学压轴题答案

如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=- 49x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y=- 4/9x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形？

Answer 1

⑴将A、C两点坐标代入抛物线y=﹣4/9x²+bx+c得方程组
c=8
-4/9*36+6b+c=0
解得 ：b=4/3，c=8，∴解析式为：y=-4/9x²+4/3x+8
⑵∵OA=8，OC=6，∴AC= 10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB=QE/QC =AB/AC = 3/5
∴QE/(10-m)=3/5，QE=3/5(10-m)
S=1/2*CP*QE=1/2*m*3/5(10-m)=3/10(m-5)²+15/2
∴当m-5=0即m=5时，S最大=15/2
②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1(1.5，8)、F2(1.5，4)、F3(1.5，6+2√7)、F4(1.5，6-2√7)

追问

要过程 四个答案怎么来的

追答

首先，当m=5时，Q为AC的中点，又D也是AB的中点，∴DQ∥对称轴X=1.5，
∴F1、F2就比较容易得出，即分别过D、Q作对称轴的垂线段。
其次：∠DFQ=90°的情况就当以QD为直径作圆M，M(3，6)，与对称轴的两个交点F3、F4，
根据垂径定理可求得MF3就是半径2，设F3F4的中点为N，则MN=1.5，
∴F3N=√(2²-1.5²)=√7/2，∴F3、F4的纵坐标是6±√7/2
对不起，刚才答案有误。

Answer 2

（1）、把点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）代入抛物线y=- 4x^2/9+bx+c，解得b=4/3，c=8，抛物线的函数表达式为y=- 4x^2/9+4x/3+8。
（2）、过Q点作QE垂直X轴交于E，求得AC=10，OC=6，则有CQ：AC=CE：OC，CQ=10-m，所以CE=(60-6m)/10，△CPQ的面积S=0.5*CE*CP=(12m-3m^2)/10=(-3/10)(m-5)^2+15/2。
当m=5时，S取得最大值为15/2。
（3）、抛物线y=- 4x^2/9+4x/3+8对称轴为x=3/2，D的坐标为（3，8），P（0，5）设F（3/2，y）
当角FDP=90度时，有FD^2+DP^2=PF^2