已知函数f(x)={e的x方-1(x≤0) ln(x+1)(x>0)},若f(2-x²)>f(x),则实数x的取值范围是
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f(x)={e的x方-1(x≤0), ln(x+1)(x>0)},所皮碰局以当x≤0时,f(x)<=0;当x>0时,f(x)>0。
令2-x²=t,
f(t)={e的t次方-1(t≤0) ,ln(t+1)(t>0)},所以当t≤0时,f(t)<燃让=0;当t>0时,f(t)>0
当t≤0时,x≤-根号下2或x>=根号下2,此时f(t)≤0;当t>0时,-根号下2<x<根号下2,此时f(t)>0.
所以f(2-x²)={e的(2-x²)次方-1(x≤-根号下2或x>=根号下2),ln(3-x²)(-根号下2<x<根号下2)}。
f(2-x²)-f(x)={e的(2-x²)次方-e的x方,(x≤-根号下2); 此时f(2-x²)、f(x)均<0,需判断。
ln(3-x²)-(e的x方-1)),(-根号下2<x≤0);
ln(3-x²)-ln(x+1),(0<x<根号下2);
e的(2-x²)次方-1-ln(x+1),(x>=根号下2)}。
由题f(2-x²)>f(x),则f(2-x²)-f(x)>0。
(1)x≤-根号下2时,即为e的(2-x²)次方-e的x方>0,因e的x方恒吵码>0,所以得到
e的(2-x²)次方/e的x方>1,e的(2-x²-x)次方>1,解得-2<x<1,最终-2<x≤-根号下2;
(2)-根号下2<x≤0时,此时f(2-x²)>0、f(x)<=0, f(2-x²)-f(x) >0,符合题意,所以-根号下2<x≤0。
(3)0<x<根号下2时,ln(3-x²)-ln(x+1)>0,ln[(3-x²)/(x+1)]>0,解得-2<x<1,最终0<x<1.
(4)x>=根号下2,此时f(2-x²)<=0、f(x)>0, f(2-x²)-f(x)<>0,不符合题意,无解。
综上,-2<x<1.
令2-x²=t,
f(t)={e的t次方-1(t≤0) ,ln(t+1)(t>0)},所以当t≤0时,f(t)<燃让=0;当t>0时,f(t)>0
当t≤0时,x≤-根号下2或x>=根号下2,此时f(t)≤0;当t>0时,-根号下2<x<根号下2,此时f(t)>0.
所以f(2-x²)={e的(2-x²)次方-1(x≤-根号下2或x>=根号下2),ln(3-x²)(-根号下2<x<根号下2)}。
f(2-x²)-f(x)={e的(2-x²)次方-e的x方,(x≤-根号下2); 此时f(2-x²)、f(x)均<0,需判断。
ln(3-x²)-(e的x方-1)),(-根号下2<x≤0);
ln(3-x²)-ln(x+1),(0<x<根号下2);
e的(2-x²)次方-1-ln(x+1),(x>=根号下2)}。
由题f(2-x²)>f(x),则f(2-x²)-f(x)>0。
(1)x≤-根号下2时,即为e的(2-x²)次方-e的x方>0,因e的x方恒吵码>0,所以得到
e的(2-x²)次方/e的x方>1,e的(2-x²-x)次方>1,解得-2<x<1,最终-2<x≤-根号下2;
(2)-根号下2<x≤0时,此时f(2-x²)>0、f(x)<=0, f(2-x²)-f(x) >0,符合题意,所以-根号下2<x≤0。
(3)0<x<根号下2时,ln(3-x²)-ln(x+1)>0,ln[(3-x²)/(x+1)]>0,解得-2<x<1,最终0<x<1.
(4)x>=根号下2,此时f(2-x²)<=0、f(x)>0, f(2-x²)-f(x)<>0,不符合题意,无解。
综上,-2<x<1.
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