Question

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围？

我用的方法是 设g（x）为f（x）/x 这样的话 算出g（x）的导函数是x-ln（x+1）/x*x，然后x=0时有极值，这样就成了a小于等于0了，请问哪错了？

Answer 1

解析：解法1：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，对函数g(x)求导数：

g′(x)=ln(x+1)+1-a，

令g′(x)=0，解得x=ea-1-1.

(1)当a≤1时，对所有x＞0,g′(x)＞0,

所以g(x)在［0，+∞)上是增函数.

又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0),

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.

(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea-1-1，g′(x)＜0,

所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数.

又g(0)=0，所以对0＜x＜ea-1-1，有

g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax.

所以当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立.

综上a的取值范围是(-∞,1］.

解法2：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，

于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.

对g(x)求导数得g′(x)=ln(x+1)+1-a,

令g′(x)=0，解得x=ea-1-1,

当x＞ea-1-1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

当-1＜x＜ea-1-1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数.

要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.

由此得a≤1，即a的取值范围是(-∞,1].

Answer 2

x=0时 f(x)=0
令 g（x）=f(x)-ax≥ g（0） 对所有的x≥0恒成立
则g‘（x）=f ’(x)-a=ln(x+1)+1-a 且ln(x+1)为增函数当x=0时取最小值
由于对所有的x≥0恒成立，所以g‘（x）>0 1-a>0 a>1
当a=1时 上式也成立 a<=1

Answer 3

宜用数形结合

由于两者在原点已有一交点，而根据f(x)的图像性质，当且仅当两者在第一象限没有交点时f(x)≥ax成立。

可以认为在x＞0，直线与曲线没有交点时成立

则可尝试摆动一条过原点的直线，可知当直线的临界斜率是g'(0)=1

a属于负无穷到1 1可取

Answer 4

有解法1
令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^(a-1)-1，
（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e^(a-1)-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^(a-1）-1）是减函数，
又g（0）=0，所以对0＜x＜e^(a-1)-1，都有g（x）＜g（0），
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．
解法2
令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．
对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=ea-1-1，
当x＞e^(a-1)-1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当-1＜x＜e^(a-1)-1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e^(a-1)-1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 5

因为 x=0时 、导函数的分母也为零了。。。这不合适吧、 我们老师给我们讲的 g(X)‘=x-ln（x+1）/x*x，然后没办法直接判断正负，令q(x)=x-ln(x+1) q(x)'=x/x+1 恒大于0 ，所以q(x)为增，然后q(x)＞q(0)=0,所以 g(x)‘＞0也恒成立，所以g(x)为增，g(x)min＞g(0) a≤g(x)min ,根据洛必达法则，limg(x)=limf(x)/limx=limf(x)'/limx'=lin(x+1)+1 把零代入，得a小于等于1

Answer 6

放缩法，利用xlnx≥x-1就可以直接消去只剩下1。

Answer 7

不知道