Question

求助一道高中数学题（有难度）

上一次发错图了……

Answer 1

解：
详细过程如下：
∵扇形AOB的圆心角为120°且C为弧AB中点

∴连OC，则∠COD = ∠COE = 60°

由余弦定理知：
CD² = OD² + OC² - 2×OD×OC×cos60°
CE² = OE² + OC² - 2×OE×OC×cos60°
DE² = OD² + OE² - 2×OD×OE×cos120°
（其中已知半径OC =1，则OC² = 1）

以上三式相加，得：

CD² + CE² + DE² = 2(OD² + 1 + OE²) - OD - OE + OD×OE

而已知CD² + CE² + DE² = 5/2（即上式等号左边等于5/2）

∴2(OD² + 1 + OE²) - OD - OE + OD×OE = 5/2

∴2(OD² + OE²) - OD - OE + OD×OE = 1/2

∴2(OD + OE)² - (OD + OE) - 3OD×OE = 1/2 ------------ ①

∵a² + b² ≥ 2ab
∴a² + b² + 2ab ≥ 4ab
∴(a + b)² ≥ 4ab
∴ab ≤ (a + b)²/4 当且仅当a=b时取到等号

∴OD×OE ≤ (OD + OE)²/4

∴①式可变为：

2(OD + OE)² - (OD + OE) - 3× (OD + OE)²/4 ≤ 1/2

不等式两边同乘以4，得：

8(OD + OE)² -4 (OD + OE) - 3× (OD + OE)² ≤ 2

∴5(OD + OE)² - 4(OD + OE) - 2 ≤ 0

∴(2 - √14)/5 ≤ OD + OE ≤ (2 + √14)/5
现已求出OD+OE 的最大值为 (2 + √14)/5 ----------------------- ②

而(2 - √14)/5是小于零的，故还须求OD + OE 的最小值。

由题意，当OD和OE二者中有一个为零时，OD×OE有最小值0，

把OD×OE = 0 代入①式，得：

2(OD + OE)² - (OD + OE) ≥ 1/2

∴4(OD + OE)² - 2(OD + OE) - 1 ≥ 0

∴OD + OE ≥ (1 + √5)/4 或 OD + OE ≤ (1 - √5)/4 此为负值，舍去

∴OD + OE 的最小值为 (1 + √5)/4 ------------------------- ③

由②③知：OD + OE 的取值范围是：

(1 + √5)/4 ≤ OD + OE ≤ (2 + √14)/5

Answer 2

解：连接OC，因为C为中点，故∠DOC=∠COE=60°，设OD=x,OE=y由余弦定理可知：x^2+1-x=DC^2,y^2+1-y=CE^2,x^2+y^2+xy=DE^2,故2（x^2+y^2）+2+xy-x-y=2.5,推出2(x+y)^2-(x+y)=1/2+3xy,设x+y=t，则2t^2-t=1/2+3xy<=1/2+3/4(x+y)^2，解得t∈（0，（2+√14）/5],但t<=2，故t∈(0，2)

Answer 3

设OE=X,OD=Y.
根据三角形三个边的长度关系
1.05<OE+OD<4.05
看看答案吧，我只是试着做了一下，也不知道对不对。思路大概这样是可以的，看在计算上有咩有错误

那这个答案到底正确不？我也想知道呢？

Answer 4

?

Answer 5

!