Question

如图，△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC为直径向外作半圆，再以AB为直径作半圆，

如图，△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC为直径向外作半圆，再以AB为直径作半圆，此半圆经过点C；记两月牙形的面积分别为S1和S2，△ABC的面积为S3。求证：S1+S2=S3。（大月牙形为S2，小月牙形为S1）

Answer 1

解：设以AC为直径的圆的半径为r1，则半圆面积=π（r1）²/2
设以AC为直径的圆的半径为r2，则半圆面积=π（r2）²/2
设以AB为直径的圆的半径为R，则半圆面积=πR²/2
三角形ABC为直角三角形，则有（2r1）²+（2r2）²=（2R）²得出（r1）²+（r2）²=R²
其中由于以AB为直径的圆包括两个空白部分面域，
所以s1+s2=s3

Answer 2

设AC的边长为b,BC的边长为a,AB的边长为,c^2=a^2+b^2
S1+S2=1/2*π(b/2)^2+1/2*π(a/2)^2+1/2ab-1/2π(c/2)^2
=1/8*π（b^2+a^2-c^2)+1/2ab
]=1/2ab=S3
S1+S2=S3