Question

等差数列an，前n项和sn，等比bn，和tn。 bn＞0 a1=b1=1，a2+b3=a3，s5=5（t3+b2）

1.求an，bn通项公式
2.求和 b1/（T1T2）+b1/（T2T3）+...+bn/（TnT(n+1)）

Answer 1

解：
1、
设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q。
a2+b3=a3 b3=d b1q²=d b1=1代入，得d=q²
S5=5(T3+b2) 5a1+10d=5(b1+b1q+b1q²+b1q)
a1=1 b1=1 d=q²代入，整理，得
q²-2q=0
q(q-2)=0
q=0(等比数列公比不等于0，舍去)或q=2
d=q²=2²=4
an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3
n=1时，a1=4-3=1，同样满足。
bn=b1q^(n-1)=2^(n-1)
n=1时，b1=2^0=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=4n-3；数列{bn}的通项公式为bn=2^(n-1)。
2、
Tn=b1(q^n-1)/(q-1)=2^n-1 Tn+1=2^(n+1) -1
1/Tn-1/T(n+1)=1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
=[2^(n+1)-1-2^n+1]/[(2^n-1)(2^(n+1)-1)]
=2^n/[(2^n-1)(2^(n+1)-1)]
=2×bn/(TnTn+1)
bn/(TnTn+1)=(1/2)[1/Tn-1/T(n+1)]
b1/(T1T2)+b2/(T2T3)+...+bn/[TnT(n+1)]
=(1/2)[1/T1-1/T2+1/T2-1/T3+...+1/Tn-1/T(n+1)]
=(1/2)[1/T1-1/T(n+1)]
=(1/2)[1-1/[2^(n+1)-1]]
=(1/2)[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]
=(2^n-1)/[2^(n+1)-1]