Question

如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为AD中点,P为CE中点,F为BP中点,FH⊥BC交BC于H,连接PH。

①求HF；②求△BFD的面积

Answer 1

解：(1)CE=√((4^2)+(2^2))=2√(5)

∴CP=2√(5)/2=√(5)

延长BP交CD于G,

过P作KM⊥CE交CD于K,交AB于M,交CB延长线于L,

易知△CPK∼△CDE

∴CP/CD=CK/CE

CP/CD=PK/DE

即√(5)/4=CG/2√(5)⇒CK=5/2

√(5)/4=PG/2⇒PK=√(5)/2

延长HF交MK于N,

因为FH∥DC(同垂直于BC)

BF=FP  ∴NM=NP

(过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线必平分第三边)

因为∠CKP=∠CED

∴RT△CDE∼RT△LCK

∴CK/DE=CD/CL

∴2.5/2=4/CL⇒CL=5

∴LB=5-4=1

AB∥CD∴△LBM∼△LCK

∴BM/LB=CK/LC=2.5/5=1/2

∴BM=0.5

∴LM=√((1^2)+(0.5^2))=√(5)/2=PK

∴LM+MN=PK+NP

则LN=NK

∴LH=HC=2.5

∴BH=2.5-1=1.5

∴BF/BG=BH/BC=1.5/4=3/8

NH=CK/2=2.5/2=5/4

NF=MB/2=0.5/2=1/4

∴HF=5/4-1/4=1

(2)因为△BHF∼△BCG

∴BH/BC=HF/CG

则1.5/4=1/CG⇒CG=8/3

∴DG=4-(8/3)=4/3

∴DG=DC/3

因为S△BCD=1/2•4•4=8

∴S△BGD=S△BCD/3=8/3

∴S△BFD=(3/8)S△BGD=8/3×3/8=1