Question

已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C, C=60度

若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA(AB-AC)=18 [均是向量】求AB的长

Answer 1

(1)ABC是三角形内角
证明：由题设mn=sin2C可得
sinAcosB+cosAsinB=sin2C
由两角和的正弦公式可知
sin(A+B)=sin2C
∵sin(A+B)=sin[180-C]
=sinC
=sin2C
=2sinCcosC
∴sinC=2sinCcosC
∴sinC(2cosC-1)=0
∵sinC≠0
∴2cosC-1=0
∴cosC=1/2
结合0＜C＜180º可知
C=60º

（2）解：sinA+sinB=2sinC，
∴a+b=2c.(正弦定理)
∴a^2+b^2+2ab=4c^2.(1)
∵向量CA(AB-AC)=18,∴向量CA·CB=18,
∴|CA||CB|cosπ/3=18,即ab=36.(2)
由余弦定理，c^2=a^2+b^2-ab,(3)
由（1）（2）（3）解得：
c=6.