Question

E、F分别为三角形ABC的边AB和BC的中点，在EF上有一点P，且EP：FP=1：2，连接AP、PB、PC，设三角形PAB、PAC

E、F分别为三角形ABC的边AB和BC的中点，在EF上有一点P，且EP：FP=1：2，连接AP、PB、PC，设三角形PAB、PAC、PAB的面积依次为S1、S2、S3，试求S1：S2：S3为多少？若EP:FP＝1:3呢？
三角形PAB、PAC、PBC的面积依次为S1、S2、S3

Answer 1

设△ABC中AC的长度为b，AC上的高为h，则因为EF是中位线，EF=1/2 b,B到EF的距离等于EF和AC的距离等于1/2 h
如此：
S1 = S△PAB = S△PEA+S△PEB = 1/2(1/3 * 1/2 b) * 1/2 h + 1/2(1/3 * 1/2 b) * 1/2 h = 1/12 bh
S2 = S△PAC = 1/2 * b * 1/2 h = 1/4 bh = 3/12 bh
S3 = S△PBC = S△PFB + S△PFC = 1/2(2/3*1/2b)*1/2 h +1/2(2/3*1/2b)*1/2 h = 2/12 bh
S1:S2:S3 = 1:3:2

EP:FP＝1:3 同上，结果为1:4:3

除了直接算以外，在明了了中位线和底线以及高的关系以后也可以直接看出来
S2占整个△ABC的一半，面积刚好是S1和S3的和
S1和S3可以分成两个面积相等的三角形，就比值只要求其中一部分，比如取△BEF中的部分，因为高相等，面积比就是底之比，先在条件给你了底之必，所以结论就是：
S1:S2:S3 ＝ EP ：（EP+FP）：FP

Answer 2

三角形PAB、PAC、PAB有两个重复了