Question

初三数学竞赛题

1.在平面直角坐标系中有两点A(-2,2),B(3,2),C是坐标轴上的一点,若△ABC是指教三角形 满足条件的C点有________

2.某单位在一快餐听订了22盒盒饭,共花费140元,盒饭共有甲、乙、丙三种，他们的单价分别为8元、5元、3元，那么可能的不同订餐方案有____________

3.若实数a满足a^3+a^2-3a+2=3/a-1/a^2-1/a^3,则a+1/a=________

4.某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长，元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生？

5.a1,a2,…,an均为正整数，且a1<a2<…<an<=2007.为保证这些整数中总存在四个互不相同的数ai,aj,ak,al，使得ai+aj+ak+al=an,那么n的最小值是多少？并说明理由

求理由过程和答案

Answer 1

第一题：
分三种情况：
1.直角顶点为A：过A点做与AB垂直的直线，与坐标轴有1个交点
2.直角顶点为B：过B点做与AB垂直的直线，与坐标轴有1个交点
3.直角顶点为C：以AB为直径画圆，该圆与坐标轴有4个交点
满足条件的C点有6个（可以计算出是哪6个）

第二题：
设8元的有x 5元的有y 3元的有z
8x+5y+3z=140
x+y+z=22
由第一个等式可知：140=5(x+y)+3(x+z) 140是5的倍数，那么，x+z也要是5的倍数
所以，y只有2 7 12 17 22这5种可能
y=22时，x和z都是0 5y=110≠140
y=17时，x+z=5 8x+5y+3z≤8*5+5*17=40+85=125<140
y=12时，x+z=10 8x+3z=80 x=10 y=12 z=0
y=7时，x+z=15 8x+3z=105 x=12 y=7 z=3
y=2时，x+z=20 8x+3z=130 x=14 y=2 z=6
所以共有3种方案

第三题
a^3+a^2-3a+2=3/a-1/a^2-1/a^3
设a+1/a=x
a^2+1/a^2=a^2+2*a*1/a+1/a^2-2=(a+1/a)^2-2=x^2-2
a^3+1/a^3=a^3+(1/a)^3=(a+1/a)(a^2-a*1/a+1/a^2)=x(x^2-3)=x^3-3x
把原等式的右面全面移到左面得：
a^3+a^2-3a+2-3/a+1/a^2+1/a^3
=(a^3+1/a^3)+(a^2+1/a^2)-3(a+1/a)+2
=x^3-3x+x^2-2-3x+2
=x^3+x^2-6x
=x(x+3)(x-2)
x=0 -3 2
而|a+1/a|=|a|+|1/a|≥2所以a+1/a=-3或2

第四题：
设有x个学生 y个管理员
该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x（x-1）张贺卡；
每个人双赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了x*y张贺卡；
每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡
所以：x(x-1)+xy+y=51
51=x(x-1)+xy+y≥x(x-1)+x+1=x^2+1
x≤7
x(x-1)+(x+1)y=51
而x和x-1中，有一个是偶数，所以x（x-1）是偶数
那么（x+1)y是奇数
那么x是偶数
而x≤7,所以x只有2 4 6三种情况
当x=2时：y=49/3（不是整数，舍去）
当x=4时：y=39/5（不是整数，舍去）
当x=6时：y=3
所以这个宿舍有6个学生

第五题：
n至少是1508
首先当n等于1507时：
有1507个数 501 502 503....2007 不满足题意
所以n>1507
当n=1508时

答案应该是1508，一时想不到怎么证明了，明天再说，休息一会.......