Question

如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax的平方+bx+c的图象

如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax的平方+bx+c的图象交于ｙ轴上的一点Ｂ，二次函数y=ax的平方+bx+c的图象与x轴只有唯一一个交点c，且oc=2（1）求二次函数y=ax的平方+bx+c的解析式（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax的平方+bx+c的图象的另一个交点为D，已知P为x轴上的一个东佃，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标

Answer 1

解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，

∴0=0.5x+2，

∴x=-4，

与y轴交于点B，

∵x=0，

∴y=2

∴B点坐标为：（0，2），

∴A（-4，0），B（0，2），

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2

∴可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x-2）2，

把A（0，2）代入得：a=0.5

∴二次函数的解析式：y=0.5x2-2x+2；

（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点

由Rt△AOB∽Rt△BOP1

∴AOBO=BOP1O，

∴42=2OP1，

得：OP1=1，

∴P1（1，0），

（Ⅱ）同理，当D为直角顶点时，P2点坐标为（7.25，0）；

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）

则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D

得：OP3DE=OBP3E，

∴a4.5=25-a，

∵方程无解，

∴点P3不存在，

∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．

Answer 2

（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=a（x-2）2，
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2-2x+2；
（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴
AO
BO
=
BO
P 1O
，
∴
4
2
=
2
OP 1
，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，
将y=0.5x+2与y=0.5x2-2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=
95
2
，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D，
∴
AB
AP2
=
AO
AD
，
25
AP2
=
4
952
，
解得：AP2=11.25，
则OP2=11.25-4=7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：
OP3
DE
=
OB
P3E
，
∴
a
4.5
=
2
5-a
，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．