Question

如图，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B，顶点为

如图，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM＝32，求点M坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），
∴OA=1
∵OB=3OA，
∴B（0，3）（1分）
∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2分）

（2）∵二次函数y=ax²-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B（0，3），
∴c=3，a=-1，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3（3分）
∴抛物线y=-x²+2x+3的顶点P（1，4）（4分）

（3）设平移后的直线的解析式为：y=3x+m
∵直线y=3x+m过P（1，4），
∴m=1，
∴平移后的直线为y=3x+1
∵M在直线y=3x+1，且
设M（x，3x+1）
①当点M在x轴上方时，有

3x+1

x+1

＝

3

2

，
∴x＝

1

3

，
∴M1(

1

3

，2)（5分）
②当点M在x轴下方时，有?

3x+1

x+1

＝

3

2

，
∴x＝?

5

9

，
∴M2(?

5

9

，?

2

3

）（6分）

（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，
当-x²+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，
∴A（-1，0），
P点坐标为（1，4），
则可得PD解析式为：y=2x+2，
根据ND′⊥PD，
设ND′解析式为y=kx+b，
则k=-

1

2

，
将D′（2，2）代入即可求出b的值，
可得函数解析式为y=-

1

2

x+3，
将两函数解析式组成方程组得：

y＝? 1 2 x+3 y＝2x+2

，
解得

x＝ 2 5 y＝ 14 5

，
故N（

2

5

，

14

5

），
由两点间的距离公式：d=

(2? 2 5 )2+(2? 14 5 )2

=

4 5

5

，
∴所求最小值为

4 5

5

（7分）