Question

已知正整数数列{an},(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=（根号下n）-（根号下n-1

Answer 1

证明：由题意知当n=1，2S1=2a1=a1 +1/a1，则a1=1/a1，又a1>0,易得a1=1
此时a1=（根号下1）- 根号下(1-1)=1-0=1，成立；
假设当n=k，k∈N*时，都有：ak=（根号下k）- 根号下(k-1) 成立
则当n=k+1时，2S(k+1)=a(k+1) +1/a(k+1)，而2Sk=ak+1/ak,
则2a(k+1)=2S(k+1) -2Sk=a(k+1) +1/a(k+1) - (ak+1/ak)
即a(k+1) -1/a(k+1)=- (ak+1/ak)
=-{（根号下k）- 根号下(k-1) +1/[（根号下k）- 根号下(k-1)] }
=-[（根号下k）- 根号下(k-1) +（根号下k）+根号下(k-1)]
=-2根号下k
则有[a(k+1)]² +2根号下k × a(k+1) -1=0
配方得： [a(k+1) +根号下k]² -k -1=0
即 [a(k+1) +根号下k]²=k+1
因为a(k+1)>0,根号下k>0，所以解得：
a(k+1) +根号下k=根号下(k+1)
即a(k+1)=根号下(k+1) -根号下k=根号下(k+1) -根号下[(k+1)-1]
这就是说当n=k+1时，假设也成立
所以证得： an=（根号下n）- 根号下（n-1）

Answer 2

当n=1时
2s1=2a1=a1+1/a1
a1=1/a1
a1²=1
{an}是正整数数列
a1=1=（根号下1）-（根号下0)
满足

如果a(k)=（根号下k）-（根号下k-1)
2S(k)=a(k)+1/a(k)=（根号下k）-（根号下k-1)+（根号下k）+（根号下k-1)=2（根号下k）
S(k)=（根号下k）
S(k+1)=（根号下k+1）
a(k+1)=S(k+1)-S(k)=（根号下k+1）-（根号下k）
成立

有归纳法知
an=（根号下n）-（根号下n-1)

追问

2S(k)=a(k)+1/a(k)=（根号下k）-（根号下k-1)+（根号下k）+（根号下k-1)=2（根号下k）
表示不理解诶。求指教。。。

追答

2S(k)=a(k)+1/a(k)
是已知

a(k)=（根号下k）-（根号下k-1)
是归纳假设

1/a(k)=1/(（根号下k）-（根号下k-1))=（根号下k）+（根号下k-1)
分母有理化一下就可以得到

望采纳
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