Question

设z=f（x，y）是可微函数，x=rcosθ，y=rsinθ，

证明（ðz/ðx）²+（ðz/ðy）²=（ðz/ðr）²+（1/r·ðz/ðθ）²

Answer 1

dz=df(x,y)=f'1dx+f'2dy;
dz/dx=f'1;dz/dy=f'2 这里的f‘1，f’2就是f‘x，f’y；1,2代表的是变量的位置
于是（ðz/ðx）²+（ðz/ðy）²=(f'1)^2+(f'2)^2
z=f(rcosθ,rsinθ),dz=f'1*cosxdr+f'2*sinxdr
dz/dr=f'1cox+f'2sinx
（ðz/ðr)²=(f'1)^2+(f'2)^2+2f'1*f'2*cosx*sinx
dz/dθ=-rf'1sinθ+rf'2cosθ
（1/r·ðz/ðθ）²=(f'1)^2+(f'2)^2-2f'1*f'2*cosx*sinx
于是（ðz/ðr）²+（1/r·ðz/ðθ）²=(f'1)^2(cos^2θ+sin^2θ）+(f'2)^2(cos^2θ+sin^2θ）==(f'1)^2+(f'2)^2于是（ðz/ðx）²+（ðz/ðy）²=（ðz/ðr）²+（1/r·ðz/ðθ）²