Question

a>0,b>0,a+b=1,求(a+1/a)(b+1/b)的最小值

原式可以化简为（（ab）平方+a平方+b平方+1）/ab，已知的是a+b=1，两边平方，得出a平方+b平方=1-2ab，代入原式中，简化成了ab的关系式，在用最小值不等式解！最后结果是当a=b=1/2时，有最小值25/4

有人是这么做的，但是我简化成了只含ab的式子以后怎么也算不出25/4来。请把详细的步骤列出来

Answer 1

(a+1/a)(b+1/b)
=ab+b/a+a/b+1/(ab)
=(a^2b^2+b^2+a^2+1)/(ab)
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/(ab)
=[a^2b^2+1-2ab+1]/(ab)
=a^2b^2/ab-2ab/ab+2/ab
=ab+2/ab-2

1=a+b>=2√(ab)
所以√(ab)<=1/2
0<ab<=1/4

因为y=x+2/x, 当0<x<√2是减函数
0<ab<=1/4
所以ab+2/ab-2>=(1/4)+2/(1/4)-2=25/4
所以(a+1/a)(b+1/b)>=25/4
最小值为25/4。

追问

ab+2/ab-2能不能直接用均值定理算出 大于等于2√2-2？