Question

初中数学：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，

折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²＝ACXAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
1

Answer 1

解：存在。
过E作EP⊥AP交AC与P. 则P即为所求。
由题意得：EF⊥AC. AO = CO
易得：△AEP ∽△AOE
∴AO:AE=AE:AP
∴AE^2 = AO AP
∴2AE^2 = AC AP

追问

能画一下辅助线做法么？我看不太明白。

追答

是过E作EP⊥AD 交AC于P,

Answer 2

过点E做AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点
证明：∵∠AEP=∠AOE=90,∠EAO=∠EAP
∴△AOE相似于△AEP ∴AE/AP=AO/AE
∴AE^2=AO*AP
易证四边形AECF是菱形 ∴AO=1/2 AC
∴AE^2=1/2 AC^AP ∴2AE^2=AC*AP
证明完毕，祝您学习愉快

追问

过点E做AD的垂线?AED在一条直线上哎、

Answer 3

过E作EP⊥AD交AC与P. 则P即为所求。

由题意得：EF⊥AC. AO = CO 

由直角相等和公共角EAO

得 △AEP ∽△AOE

∴AO:AE=AE:AP

∴AE^2 = AO AP

∴2AE^2 = AC AP