Question

设函数f(x)=(1+x)^2-2ln(1+x) ........1.若存在0≤x0≤1使不等式f(x0)-m≤0能成立,求实数m的最小值...

...2..关于x的方程f(x)=x^2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.

Answer 1

1）存在x0使f(x0)-m<=0成立
存在x0使f(x0)<=m成立
即m的最小值是f(x)的最小值，下面就是求最小值
2）g'(x)=1-2/(1+x).
g'(0)=-1,g'(1)=0,g'(2)=1/3
容易知道函数是减增的趋势
g(0)>=0
g(1)<0
g(2)>=0
然后就可以得出

追问

详细点可以么?

追答

定义域x>-1
1.
f(x0)≤m，只要m≥f(x)min 即可。
f'(x)=2(1+x)-[2/(1+x)]=2x(x+2)/(x+1)
∵在0≤x≤1时，显然，f'(x)>0,即f(x0)在[0,1]上递增，
∴f(x)min=f(0)=1
故m(min)=1
2.
令g(x)=(1+x)^2-2In(1+x)-x^2-x-a
g'(x)=2(1+x)-[2/(1+x)]-2x-1=(x-1)/(1+x)
容易知道函数在[0，1)上递减，在[1，2]上递增
x=1是极小值点
g'(0)=-1,g'(1)=0,g'(2)=1/3
容易知道函数是减增的趋势
方程在[0,2]上恰有两个相异实根，即g(x)在[0,2]上恰好有两个不同的零点
则,同时满足下列三个条件
g(0)≥0
g(1)<0
g(2)≥0
解得2-2In2<a≤3-2In3