Question

如图【1】：已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，直线DE经过点C,AD⊥DE，垂足分别为D,E。求证；DE=AD+BE.

【2】如图2，当直线DE经过△ABC内部时，其他条件不变，【1】中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，那么线段AD,BE,DE之间满足什么关系？证明你的结论。

Answer 1

这个简单。
图1，证全等。
∵AD⊥DE,
∴∠ADE=90°
∴∠DAE+∠AED=90°
∵∠ACB=90°
∴∠AED+∠BCE=90°
∴∠DAE=∠ECB
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB,
在△ADE与△CEB中
╭∠DAE=∠ECB
│∠ADE=∠CBE=90°
╰AC=CB
∴△ADE≌△CEB(AAS)
∴AD=CE DE=EB
∵DC+CE=DE
∴AD+BE=DE

图2，结论应该是DE=AD-BE这样证就可以啦。
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠ECB=90°
∵AD⊥DE,
∴∠ADC=90°
∴∠ACD+∠CAD=90°
∴∠CAD=∠BCE
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB,
在△ADC与△CEB中
╭∠CAD=∠BCE
│∠ADC=∠CEB=90°
╰AC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE CD=BE
∵CE-CD=DE
∴AD-BE=DE

嘛。。。你的图有点不标准。图2的∠ADE是90°完全看不出来。。。不过。。
希望能帮到你啦。。。

Answer 2

1、证明：
∵∠ACD+∠BCE+∠ACB＝180, ∠ACB＝90
∴∠ACD+∠BCE＝90
∵AD⊥DE
∴∠ADC＝90
∴∠ACD+∠DAC＝90
∴∠BCE＝∠DAC
∵BE⊥DE
∴∠BEC＝90
∴∠BEC＝∠ADC
∵AC＝BC
∴△ACD全等于△BEC
∴AD＝CE，BE＝CD
∵DE＝CD+CE
∴DE＝AD+BE
2、DE＝AD-BE
证明：
∵∠ACB＝90
∴∠ACD+∠BCD＝90
∵AD⊥DE
∴∠ADC＝90
∴∠ACD+∠CAD＝90
∴∠CAD＝∠BCD
∵BE⊥DE
∴∠BEC＝90
∴∠BEC＝∠ADC
∵AC＝BC
∴△ACD全等于△BEC
∴AD＝CE，BE＝CD
∵DE＝CE-CD
∴DE＝AD-BE