Question

求解 一道高中数列题 就当中一个步骤不懂

已知等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+32bn=0（t∈R，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；
（3）当{bn}为等差数列时，对任意正整数k，在ak与ak+1之间插入2共bk个，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tn=2cm+1的所有正整数m的值．

主要第三问不大懂。

（3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
#########当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意，########？？？？（此处不懂）

从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1，
即2×(2k-1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1，即2k+1-2k2-2k+2=0．
也就是2k=k2+k-1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，25=32，k2+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2k＞k2+k-1成立，
当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．

Answer 1

解：（1）因为6a3=8a1+a5，所以6q2=8+q4，
解得q2=4或q2=2（舍），则q=2
又a2=2，所以an=2n
（2）由2n2-（t+bn）n+32bn=0，得bn=2n2-tnn-32，
所以b1=2t-4，b2=16-4t，b3=12-2t，
则由b1+b3=2b2，得t=3
而当t=3时，bn=2n，由bn+1-bn=2（常数）知此时数列{bn}为等差数列；
（3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意，
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1，
即2×(2k-1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1，即2k+1-2k2-2k+2=0．
也就是2k=k2+k-1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，25=32，k2+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2k＞k2+k-1成立，
当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．

Answer 2

（3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
#########当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意，########？？？？（此处不懂）

从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1，
即2×(2k-1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1，即2k+1-2k2-2k+2=0．
也就是2k=k2+k-1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，25=32，k2+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2k＞k2+k-1成立，
当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．

Answer 3

不是都把过程写出来了吗 就是你那么写的 答案是对的

Answer 4

不是都解出来了吗

追问

当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意

这一步不懂，谢谢 请指教。