Question

如图甲，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM垂直于BE，垂足为M

1。 说明OE=OF 2。若点E作AC的延长线上，AM⊥BE于点M交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论OE=OF还成立吗？ 请给出证明

Answer 1

证明：

∵正方形ABCD，AC与BD交于O

∴AO＝BO，AC⊥BC

∴∠AOB＝∠BOC＝90°

∴∠EBO+∠BEO＝90°

∵AM⊥BE

∴∠EAM+∠BEO＝90°

∴∠EBO＝∠EAM

∴△AOF和△BOE中   ∠EBO＝∠EAM

                                      ∠AOB＝∠BOC＝90°

                                        AO＝BO

∴△AFO≌△ BOE [AAS],

∴OE＝OF

Answer 2

1、因为OB=OA ∠OEB+∠OFM=∠OFA+OFM=∠OFA+∠OAF=180度
所以∠OEB=∠OFA
又因为∠AOF=∠BOE=90度
所以根据角边角定理
推出三角形AOF≌三角形BOE
所以推出OE=OF
2、因为∠CBE+∠ABM=∠ABM+BAF=90度
所以∠CBE=BAF
又因为∠BCE=∠ABF=135度
BC=AB
所以三角形BCE≌三角形ABF
所以CE=BF
又因为OC=OB
所以OC+CE=OB+BF
即OE=OF
得证

Answer 3

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF．
（2）解：OE=OF成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°，
∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF．

Answer 4

证明：
∵正方形ABCD，AC与BD交于O
∴AO＝BO，AC⊥BC
∴∠AOB＝∠BOC＝90
∴∠EBO+∠BEO＝90
∵AM⊥BE
∴∠EAM+∠BEO＝90
∴∠EBO＝∠EAM
∴△AOF全等于△BOE
∴OE＝OF

Answer 5

证明：
∵正方形ABCD，AC与BD交于O
∴AO＝BO，AC⊥BC
∴∠AOB＝∠BOC＝90
∴∠EBO+∠BEO＝90
∵AM⊥BD
∴∠EAM+∠BEO＝90
∴∠EBO＝∠EAM
∴△AOF全等于△BOE
∴OE＝OF

Answer 6

因为正方形ABCD,AC垂直BD,所以AO=OB,角AOF=角BOE=90度，因为AM垂直BE,所以角BMF=90度，所以角AFB+角MBF=90度，又因为角MBF=角OBE，且因为角OBE+角OEB=90度，所以角 AFB=角OEB,所以三角形AOF全等于三角形BOE[AAS],所以OE=OF