Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）， （1）试求抛物线的解析式；

答案加解析，谢谢

Answer 1

设抛物线线的解析式是 y=a(x+2)(x-4) ，
将 x=0 ，y=8 代入可得 8=a(0+2)(0-4)，解得 a=-1 ，
因此解析式是 y=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8 。

追问

（2）设直线CD交X轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作X轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点。试探究:抛物线向上最多可平移多少各单位长度？向下最多平移多少个单位长度？

追答

D在哪儿？难道直线CD是不确定的么？

Answer 2

因为与y轴交于点C（0，8），所以一般式中y=aX^2+bX+c中的c为8，把A,B两点坐标代入到式子中形成方程组，（1）0=4a-2b+8 (2)0=16a+4b+8 解（1）（2）组成的方程组，a=-1,b=2 ，所以解析式为y=-X^2+2X+8

Answer 3

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），
（1）试求抛物线的解析式；
（2）设点D是该抛物线的顶点，试求直线CD的解析式；
（3）若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
∵抛物线与y轴交于点C（0，8），
∴-8a=8，解得a=-1，
∴y=-x2+2x+8；

（2）∵y=-x2+2x+8，
∴顶点坐标为（1，9），
设过CD的解析式为y=kx+b，
∴b=8，k+8=9，
解得k=1，
∴过CD的解析式为y=x+8；
若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=-8时，y=-72+m．
当x=4时，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．
②若抛物线向下移，可设解析式为y=-x2+2x+8-m（m＞0）．
由
y=-x2+2x+8-my=x+8​
有x2-x+m=0．
∴△=1-4m≥0，
∴0＜m≤
14

∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移
14
个单位长．

Answer 4

解：连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2√3 ，由勾股定理，得AB=4；
∵OP平分∠AOB，∴弧BP=AP ；
则△ABP是等腰Rt△，AP=2√2 ；
Rt△POQ中，∠POQ=45°，则PQ=OQ；
设PQ=OQ=x，则AQ=2√3-x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP2=AQ2+PQ2，即（2√3-x）2+x2=8；
解得x=√3+1，x=√3-1；
由于∠POA＞∠OAB，则PQ＞OB，即x＞2；
∴PQ=OQ=x=√3+1；
即P点坐标为（√3+1，√3+1）．

Answer 5

已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。