Question

初中平行四边形试题

一个平行四边形ABCD,AD=2AB,M为AD的中点，过C点作AB的垂线交AB于E，角MEC为40度，求角DME的度数？
如图

Answer 1

【分析：】添加辅助线，构造三角形MDF，利用角边角证明三角形AME与三角形FMD全等，得到M为EF的中点，根据平行四边形的对边平行，得到角BEC等于角ECF都为直角，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出ME和MC相等，根据等比对等角，得到角MEC等于角MCE都等于40°，从而得出角EMC和角MCD的度数，再根据AD等于AB的二倍，AD等于MD的二倍，所以MD等于AB，根据平行四边形的性质得AB=CD，即MD=CD，根据等边对等角求出角DMC的度数，而要求的角等于上边求出的角EMC和角DMC的和，从而求出答案．

【解答：】延长EM与CD的延长线交于点F，连接CM，
∵M是AD的中点，∴AM=DM，
∵ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，又∠BEC=90°， ∴∠ECF=90°，∠A=MDF，又∠AME=∠DMF， ∴△AEM≌△DFM， ∴EM=FM， ∴CM=EM=1/2EF， ∴∠MEC=∠MCE=40°， ∴∠EMC=100°，∠MCD=50°， 又∵M为AD中点，AD=2DC， ∴MD=CD=1/2AD， ∴∠DMC=∠DCM=50°， ∴∠DME=∠EMC+∠DMC=100°+50°=150°．

Answer 2

画图做辅助线延长EM、CD产生交点K，连接CM，根据AB∥CD，∠CEB=90°发现∠ECD=90°
∵M为AD中点，利用ASA可证明△EAM≌△DKM，在RT△KCE中（利用CM是这个直角三角形斜边的中线等于这个直角三角形斜边一半）得MC=ME
∴∠MEC=∠MCE=40°，又FCE=90°
∴∠KCM=50°，最后利用AD=2AB，M为AD中点得：MD=DC所以∠DMC=50°，∴∠DME=∠EMC+∠DMC=100°+50°=150°（PS:结果就是150°）