Question

若abc为不等于零的实数,方程ax^2+bx+c=0有虚根 而且其虚根的立方为实数 求证：abc为等比数列

Answer 1

证明：设虚根α=m+ni，n≠0
则α^3=(m+ni)³=m³-3mn²+i(3m²n-n³)
因为α^3∈R
所以3m²n-n³=0
所以3m²=n²
α是实系数二次方程ax^2+bx+c=0的一个虚根，则b²-4ac＜0
方程ax^2+bx+c=0的根为：[-b±i√(4ac-b²)]/(2a)
所以m²=(-b/2a)²=b²/(4a²)，n=(4ac-b²)/(4a²)
又3m²=n²
所以3b²/(4a²)=(4ac-b²)/(4a²)
所以3b²=4ac-b²
所以4b²=4ac
所以b²=ac
所以a,b,c成等比数列

Answer 2

设两虚根为m，n。可知m、n互为共轭，且不相等
本题得关键是：我们知道实数的共轭仍是其本身。

由条件，其虚根的立方为实数 得m^3=（m^3的共轭）=（m共轭）^3=n^3
即m^3-n^3=0
(m-n)(m^2+mn+n^2)=0 (mn不相等)
(m+n)^2-mn=0
(b/a)^2-c/a=0
b^2=ac