Question

设函数f（x）=x^2+aln(1+x)有两个极值点，求实数a的取值范围

我的思路是先求出导函数 也就是y‘=(2x^2+2x+a)/(x+1) 令y'=0 即 2x^2+2x+a=0 然后把这个看成是由y=2x^2+2x 和y=-a 的两个函数组合成的 然后我就卡住了 可以告诉我我的思路错在哪里然后清晰的解释一下接下去要怎么做吗？ 谢谢

Answer 1

2x^2+2x+a=0
要有两个极值点，则该方程要有两个不同实根，-> △>0

追问

△>0 后只能得出a0?

追答

x的定义域是(-1,+∞)
则两个解需大于-1
f(-1)>0 -> a>0

追问

两个解需大于-1怎么会得出f(-1)>0? 就算f(-1)>0 也不会得出 a>0啊!?

追答

打错。。
是f'(-1)>0 -> a>0
画图可知f'(x)图像为开口向上
若两根均大于-1,则f'(-1)>0

追问

为什么两个解需大于-1 f'(-1)>0? 导函数大于零意味着原函数单调递增 所以x>-1是原函数递增吗?
图像是开口向上啊 但是导函数的图像对称轴是x=-1/2啊 f’(-1)<0啊

追答

因为f(x)=x^2+aln(1+x) -> 真数>0 -> 1+x>0,x>-1 -> 函数的定义域为(-1,+∞)
因为f(x)有两个极值点，所以f'(x)=0要有两个不同的解,这两个解在定义域了，否则无意义
f'(-1)>0只是为了让两个解均大于-1
2x^2+2x+a=0 -> 当x=-1时,2(-1)^2-2+a>0 -> a>0
这部分只是二次函数在区间求解的问题，与导函数的意义无关

参考资料： 还有问题的话，百度Hi联系