Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c的图像如图T3-1所示、直线y=0在原点处与函数图像相切，且此切线与函数图像所围

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c的图像如图T3-1所示、直线y=0在原点处与函数图像相切，且此切线与函数图像所围成的区域面积为27/4，则f（x）=?
图图在此
求出a、b、c...就是了、但是总觉得算的不对吖

Answer 1

f(x)=x³+ax²+bx+c

f'(x)=3x²+2ax+b

原点 (0,0) 是 f(x) 和 f'(x) 的零点，代入可求得 b=0，c=0

f(x)=x³+ax²

令f(x)=0，求得与 x 轴的另一个交点 x=-a（按示意图，这里的 a 必须为负数）

[0,-a]∫[0-(x³+ax²)]dx=27/4

-¼x^4-ax³/3|[0,-a]=27/4

-¼(-a)^4-a(-a)³/3=27/4

a^4=81

a=-3

f(x)=x³-3x²

如果没有示意图的限制，a=3 也是合理的。如图，红色 f(x)=x³-3x²  绿色 f(x)=x³+3x²

Answer 2

(0,0)在线上--> c=0

x=0处的切线为y=0  --> (0,0) 满足 f'=3x^2+2ax+b   --> b=0

此时f(x)=x^3+ax^2

另f(x)=0可以求出另一个零点，x=-a >0 (有图可知) --> a <0

区域面积为27/4 --> 对f(x)在[0, -a]区间上求积分 = 27/4，即可得a^4=81/7  -->a=-(81/7)^(1/4)

最后 f（x）=x^3 - (81/7)^(1/4) * x^2 

不知LZ是否也是此结果，或者有什么疑意？

Answer 3

见图