Question

求数列1,1+2,1+2+2^2,1+2+2^2+2^3,……的前n项和Sn

Answer 1

设等比数列{an}的通项公式an=2^(n-1)，则数列{an}的前n项和为Bn=2^n - 1
B1= 1
B2 = 1+2
B3=1 + 2 + 4
·
·

∴{Bn}就是所求数列。
则{Bn}的前n项和为
Sn=(2 - 1)+(2²-1)+(2³ - 1) + …… + (2^n - 1)
=(2+2²+2³+……+2^n) - n
=2(2^n - 1) - n
=2^(n+1) - n - 2

追问

=(2+2²+2³+……+2^n) - n
=2(2^n - 1) - n
这个怎么换

追答

2+2²+2³+……+2^n 这是等比数列cn=2^n的前n项和啊！！！
= c1(1-q^n)/(1-q) = 2(1-2^n)/(1-2)=2(2^n - 1)

Answer 2

这个题不难，主要运用分组求和与错位相减法，解答如下：
Sn=1+(1+2)+(1+2+2^2)+(1+2+2^2+2^3)+…+[1+2+…+2^(n-1)]=n*1+(n-1)*2^1+…+1*2^(n-1) (1)
2Sn=n*2^1+(n-1)*2^2+…+1*2^n (2)
(2)-(1)：Sn=-n+2^1+2^2+…+2^(n-1)+2^n=-n+2^(n+1)-2

Answer 3

每一项为等比数列
令每一项为A1,A2，A3，A4，A5,……，A（n-1），An
第一项设为A1=1
第二项设为A2=1+2
第三项设为A3=1+2+2^2
……
A（n-1）=（1-2^n-1）/（1-2）
An=（1-2^n）/(1-2)
Sn=1+(1-2^2)/(1-2)+(1-2^3)/(1-2)+……+（1-2^n）/(1-2)=（1-2）+（1-2^2）+……+（1-2^n）/(1-2)={n-(2+2^2+……+2^n)}/(1-2)=2^(n+1)-n-2

Answer 4

等比数列求和公式,设A=1+2+2^2+……+2^(n-1)①
∴2A=2+2^2+2^3+……+2^n②
②-①得 (2-1)A=(2+2^2+2^3+……+2^n)-(1+2+2^2+……+2^(n-1))=2^n-1
∴A=(2^n-1)/(2-1)

Answer 5

2Sn＝2+（2+2∧2）+（2+2∧2+2∧3）+...（2+2∧2+...+2∧n）
Sn＝1+（1+2）+（1+2+2∧2）+...+（1+2+2∧2+2∧（n-1））
Sn-2Sn＝....
我一直在找这个结果..
这个方法叫错位相消法

Answer 6

Sn-S(n-1)=an=1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1
S(n-1)-S(n-2)=a(n-1)=2^(n-1)-1
.
.
.
S2-S1=2^2-1
S1=1
左右两边分别相加
Sn=(2^2+2^3+....+2^n)+1-(n-1)=2^(n+1)-2-n
所以
Sn=2^(n+1)-2-n

追问

Sn=(2^2+2^3+....+2^n)+1-(n-1)=2^(n+1)-2-n
没看明白...

追答

对于Sn=(2^2+2^3+....+2^n)+1-(n-1)
括号里的是所有右边的2的指数项相加求和后为2^(n+1)-4，1就是S1，右边有n-1个-1，所以有
-(n-1)这一项。
即：Sn=(2^2+2^3+....+2^n)+1-(n-1）=2^(n+1)-4+1-(n-1)=2^(n+1)-2-n