Question

已知函数f(x)=(m+1/m)lnx+1/x-x, 当m属于[3,正无穷]时，曲线y=f(x)上总存在相异两点P（x1,f(x1))、

Q（x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线相互平行，求x1+x2的取值范围？

Answer 1

由函数f(x)=(m+1/m)lnx+1/x-x, 当m属于[3,正无穷]时，曲线y=f(x)上总存在相异两点P（x1,f(x1))、 Q（x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线相互平行，说明在P.Q两点处的斜率相等（设为k），则f'(x)=(m+1/m)/x-1/(x^2)-1=k的两个实根为x1和x2
方程(m+1/m)/x-1/(x^2)-1=k可化为(k+1)x^2-(m+1/m)x+1=0
判别式△=(m+1/m)^2-4(k+1)>0对于任意m∈[3,+∞）恒成立
即4(k+1)<(m+1/m)^2对于任意m∈[3,+∞）恒成立
而当m=3时(m+1/m)^2取得最小值100/9
所以4(k+1)<100/9得2k+2<50/9
x1+x2=(m+1/m)/(2k+2)>(10/3)/(50/9)=3/5
所以x1+x2的取值范围为(3/5，+∞)