Question

高一数学已知x大于0，y大于0，x+3y=1，求1/x+1/y的最小值，并求相应的x，y值

已知x大于0，y大于0，x+3y=1，求1/x+1/y的最小值，并求相应的x，y值

Answer 1

1/x+1/y=(x+3y)(1/x+1/y)=1+x/y+3y/x+3=x/y+3y/x+4>=2√[(x/y)(3y/x)]+4=2√3+4。
当且仅当x/y=3y/x、即x=√3y时，等号成立。
所以，√3y+y=1，y=(√3-1)/2，x=√3y=(3-√3)/2。
当x=(3-√3)/2、y=(√3-1)/2时，1/x+1/y取得最小值2√3+4。

Answer 2

1/x+1/y
=(1/x+1/y)*1
=(1/x+1/y)^(x+3y)(因为x+3y=1)
=1+3+3y/x+x/y
>=4+2*根号3（均值不等式）。
取等条件是3y/x=x/y
结合x+3y=1
得到x=(根号3-1)/2
y=(3-根号3)/6.