Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．求证：△MDC是等边三角形；

求证：△MDC是等边三角形；
要怎么证明?

Answer 1

（1）证明：过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
即AQ∥DP，
∵AD∥BC，
∴ADPQ是平行四边形，
∴AD=QP=AB=CD，
∵∠C=∠B=60°，
∴∠BAQ=∠CDP=30°，
∴CP=BQ=12AB=1，
即BC=1+1+2=4，
∵CD=2，
∴BC=2CD，
∵点M是BC的中点，
BC=2CM，
∴CD=CM，
∵∠C=60°，
∴△MDC是等边三角形．

（2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
过D作DN⊥BC于N，
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∵CD=2，
∴CN=1，
∴由勾股定理得：DN=3，
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，
∠B=∠FAMBM=AM∠BME=∠AMF​，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长，即是3，即EF的最小值是3，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+3，
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+

3

．

Answer 2

解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离√3，即EF的最小值是√3，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+√3，
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+√3．

Answer 3

AD∥BC，AB=CD
所以是等腰梯形，
做辅助线DN∥AB交BC于N，则四边形ABND是平行四边形，AD=BN=AB=DN=2，∠B=∠DNC
又∠C=60°，
则∠B=60°，∠DNC=60°
所以△NDC是等边三角形
所以NC=CD=2
N是BC中点
即M、N重合
△MDC是等边三角形

Answer 4

AD∥BC，AB=CD
所以是等腰梯形，
做辅助线DN∥AB交BC于N，则四边形ABND是平行四边形，AD=BN=AB=DN=2，∠B=∠DNC
又∠C=60°，
则∠B=60°，∠DNC=60°
所以△NDC是等边三角形
所以NC=CD=2
N是BC中点
即M、N重合
△MDC是等边三角形

Answer 5

AD∥BC，AB=CD
所以是等腰梯形，
做辅助线DN∥AB交BC于N，则四边形ABND是平行四边形，AD=BN=AB=DN=2，∠B=∠DNC
又∠C=60°，
则∠B=60°，∠DNC=60°
所以△NDC是等边三角形
所以NC=CD=2
N是BC中点
即M、N重合
△MDC是等边三角形