Question

在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点 急！急！急！

现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x点M。BC边交x轴于点N。
问：但旋转角为多少时，△OMN的面积最小，并求出此时△OMN内切圆的半径

要过程

Answer 1

解：设当旋转角为a时（0小于等于a小于等于45°），△OMN的面积最小。
此时根据图形，OM=2/COS(45°-a)，所以三角形OMN底边ON上的高即M点纵坐标y=2/√2COS(45°-a）=2/(sina+cosa),ON=2/cosa,所以S△OMN=1/2*2/(sina+cosa)*2/cosa=4/(2cos²a+2sina*cosa)=4/(cos2a+sin2a+1)=4/【√2sin(2a+45°)+1】根据正弦函数的单调性，由于0小于等于a小于等于45°，所以45°小于等于2a+45小于等于135°，当2a+45=90°时，面积取得最小值s=4/(√2+1)=4(√2-1)，即：a=22.5°（π/8）。此时，设△OMN内切圆的半径为r，OM=2/cos(π/8),ON=2/cos（π/8),根据三角形余弦定理得：MN²=8/cos²π/8-8/cos²π/8*cosπ/8解得MN,再根据1/2*MN*r+1/2*ON*r+1/2*MO*r=s△OMN=4(√2-1)解得r即可。

Answer 2

(1)面积=OA*OA*3.14*45/360=1.57
(2)当MN和AC平行时，AM/AB=CN/CB
因AB=CB，故AM=CN，△OAM≌△OCN
∠AOM=∠CON
又∠CON=∠YOA（因同时旋转），∠CON+∠YOA=45°，故∠YOA=22.5°
(3)周长不会变化。
延长MA交Y轴于D点，则可证：
△OAD≌△OCN，AD=CN，OD=ON
△OMD≌△OMN，MN=MD=MA+AD=MA+NC
所以△MBN的周长为P=BM+BN+MN=BM+BN+MA+NC=AB+BC=2+2=4