Question

已知椭圆x^2/25+y^2/9=1的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的动点,求|PF1||PF2|的最小值

Answer 1

设P(x0,y0),那么(|PF1||PF2|)^2=[(x0-4)^2+y0^2][(x0+4)^2+y0^2]
因为x0^2/25+y0^2/9=1,所以y0^2=9-9x0^2/25,
所以(|PF1||PF2|)^2=(16x0^2/25-8x0+25)(16x0^2/25+8x0+25)
=(1/25)^2 [16x0^2-200x0+625][16x0^2+200x0+625]
=(1/25)^2 (4x0-25)^2 (4x0+25)^2
=(1/25)^2 (16x0-625)^2
由于0≤x0^2≤25,所以-625≤16x0-625≤-225
所以9≤|PF1||PF2|≤25
所以所求最小=9(P在y轴)